Question

10．定義[x]表示不超過x的最大整數(shù)（x∈R），如：[-1，3]=-2，[0，8]=0；定義{x}=x-[x]．
（1）{$\frac{999}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{2}}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{3}}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{4}}{1000}$}=2；
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，
{$\frac{999}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{2}}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{3}}{1000}$}+…+{$\frac{99{9}^{n}}{1000}$}=$\frac{n-1}{2}+\frac{999}{1000}$．

Answer 1

分析 （1）利用新定義求出{$\frac{999}{1000}$}，利用二項展開式求{$\frac{99{9}^{2}}{1000}$}、{$\frac{99{9}^{3}}{1000}$}的值，根據(jù)規(guī)律求出{$\frac{99{9}^{4}}{1000}$}的值，代入所求的式子求解；
（2）由（1）歸納出規(guī)律，利用此規(guī)律求出所求的式子的值．

解答 解：（1）由題意得，{$\frac{999}{1000}$}=$\frac{999}{1000}$-[$\frac{999}{1000}$]=$\frac{999}{1000}$，
∵$\frac{99{9}^{2}}{1000}$=$\frac{{（1000-1）}^{2}}{1000}$=$\frac{{1000}^{2}-2000+1}{1000}$=998+$\frac{1}{1000}$，
∴{$\frac{99{9}^{2}}{1000}$}=998+$\frac{1}{1000}$-998=$\frac{1}{1000}$，
∵$\frac{99{9}^{3}}{1000}$=$\frac{{（1000-1）}^{3}}{1000}$=$\frac{{1000}^{3}-3×100{0}^{2}+3×1000-1}{1000}$=1000²-3000+3-$\frac{1}{1000}$，
∴{$\frac{99{9}^{3}}{1000}$}=1000²-3000+3-$\frac{1}{1000}$-（1000²-3000+3-1）=$\frac{999}{1000}$
由二項式定理同理可得，{$\frac{99{9}^{4}}{1000}$}=$\frac{1}{1000}$，
∴{$\frac{999}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{2}}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{3}}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{4}}{1000}$}=$\frac{999}{1000}$+$\frac{1}{1000}$+$\frac{999}{1000}$+$\frac{1}{1000}$=2；
（2）由（1）可歸納出當(dāng)n是奇數(shù)時，{$\frac{99{9}^{n}}{1000}$}=$\frac{999}{1000}$，
當(dāng)n是偶數(shù)時，{$\frac{99{9}^{n}}{1000}$}=$\frac{1}{1000}$，
∴當(dāng)n為奇數(shù)時，則有$\frac{n-1}{2}$個偶數(shù)，$\frac{n+1}{2}$個奇數(shù)，
{$\frac{999}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{2}}{1000}$}+{$\frac{99{9}^{3}}{1000}$}+…+{$\frac{99{9}^{n}}{1000}$}=$\frac{n-1}{2}+\frac{999}{1000}$，
故答案：（1）2；（2）$\frac{n-1}{2}+\frac{999}{1000}$．

點評 本題考查由新定義求函數(shù)值，歸納推理，以及二項式定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)前幾項的規(guī)律發(fā)現(xiàn)所求項的各項的值，屬于中檔題．