Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x≥0}\\{（a-1）{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2]
• B． [2，+∞）
• C． [-2，-1）∪[2，+∞）
• D． （-∞，-2]∪（1，2）

Answer 1

分析 分別就函數(shù)為增和減，可得a的不等式組，解不等式組綜合可得．

解答 解：若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x≥0}\\{（a-1）{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-1＞0}\\{1≥（a-1）{e}^{0}}\end{array}\right.$，解不等式組可得1＜a≤2；
若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+1，x≥0}\\{（a-1）{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$在（-∞，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a-1＜0}\\{1≤（a-1）{e}^{0}}\end{array}\right.$，解不等式組可得∅；
綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，2]，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，涉及不等式組的解集，屬中檔題．