Question

2．△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，且cosB=$\frac{3}{4}$．
（1）求$\frac{c}{a}$的值；
（2）設(shè)$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，求a+c的值．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列性質(zhì)得b²=ac，由余弦定理能求出$\frac{c}{a}$的值．
（2）由已知得$cacos{B}=\frac{3}{2}$，再由$\frac{c}{a}=2$或$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，能求出c+a．

解答 解：（1）因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，所以b²=ac，
由余弦定理可知：$cos{B}=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}-ac}}{2ac}=\frac{1}{2}（{\frac{c}{a}+\frac{a}{c}-1}）$，
又$cos{B}=\frac{3}{4}$，故$\frac{1}{2}（{\frac{c}{a}+\frac{a}{c}-1}）=\frac{3}{4}$，解得$\frac{c}{a}=2$或$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
（2）因?yàn)?\overrightarrow{{B}{A}}•\overrightarrow{{B}C}=\frac{3}{2}$，所以$cacos{B}=\frac{3}{2}$，
所以ca=2，又$\frac{c}{a}=2$或$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
故c+a=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形中線段比值及兩線段和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列性質(zhì)及余弦定理的合理運(yùn)用．