Question

13．如圖，F(xiàn)是拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，A是拋物線E上任意一點(diǎn)．現(xiàn)給出下列四個結(jié)論：
①以線段AF為直徑的圓必與y軸相切；②當(dāng)點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)時，|AF|為最短；
③若點(diǎn)B是拋物線E上異于點(diǎn)A的一點(diǎn)，則當(dāng)直線AB（AB≥2P）過焦點(diǎn)F時，|AF|+|BF|取得最小值；
④點(diǎn)B、C是拋物線E上異于點(diǎn)A的不同兩點(diǎn)，若|AF|、|BF|、|CF|成等差數(shù)列，則點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)亦成等差數(shù)列．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①設(shè)A的坐標(biāo)，求出圓心坐標(biāo)，可得圓心到y(tǒng)軸的距離，圓的半徑，即可判斷以線段FA為直徑的圓與y軸相切；
②利用拋物線的定義得出|AF|=|x+$\frac{p}{2}$|，從而可得當(dāng)點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)時，|AF|為最短；
③設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AF|+|BF|=x₁+x₂+p，A、B關(guān)于x軸對稱時，|AF|+|BF|取得最小值；
④設(shè)點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)，利用|AF|、|BF|、|CF|成等差數(shù)列，根據(jù)拋物線的定義，即可得到結(jié)論．

解答 解：①由已知拋物線y²=-2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（-$\frac{p}{2}$，0），設(shè)A（x₁，y₁），則圓心坐標(biāo)為（$\frac{2{x}_{1}-p}{4}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$），
∴圓心到y(tǒng)軸的距離為$\frac{p-2{x}_{1}}{4}$，圓的半徑為$\frac{|FA|}{2}$$\frac{p-2{x}_{1}}{4}$，∴以線段FA為直徑的圓與y軸相切．故①正確；
②設(shè)A（x，y），則|AF|=|x+$\frac{p}{2}$|，∴x=0時，即當(dāng)點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)時，|AF|為最短，②正確；
③設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AF|+|BF|=x₁+x₂+p，A、B關(guān)于x軸對稱時，|AF|+|BF|取得最小值，故③不正確；
④設(shè)點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)分別為a，b，c，則∵|AF|、|BF|、|CF|成等差數(shù)列，∴2|BF|=|AF|+|CF|，∴2（b+p）=（a+p）+（c+p），∴2b=a+c，∴點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)亦成等差數(shù)列，故④正確．
綜上知，正確結(jié)論的個數(shù)是3個
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到直線與圓的位置關(guān)系及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．