9.已知$\overrightarrow{a}$=(-$\sqrt{3}$,$\frac{5}{3}$),$\overrightarrow$=($\sqrt{3}$,-$\frac{1}{3}$).
(1)求$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角是多少;
(2)求$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$的夾角為鈍角,求λ的范圍.

分析 (1)利用向量坐標運算、向量夾角公式即可得出;
(2)$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$的夾角為鈍角,可得($\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$)•($\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$)<0,且($\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$)•($\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$)≠-1.利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出.

解答 解:(1)$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$=$(\sqrt{3},1)$,$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=$(-2\sqrt{3},2)$.
∴|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=$\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+{1}^{2}}$=2,|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{(-2\sqrt{3})^{2}+{2}^{2}}$=4.
($\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$)•($\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$)=$\sqrt{3}×(-2\sqrt{3})$+2=-4.
∴cos<$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$,$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$>=$\frac{(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow)•(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)}{|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow||\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{-4}{2×4}$=-$\frac{1}{2}$.
∴$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角是$\frac{2π}{3}$.
(2)$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$=$(-\sqrt{3}-λ\sqrt{3},\frac{5}{3}+\frac{1}{3}λ)$.
∵$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$的夾角為鈍角,
∴($\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$)•($\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$)<0,且($\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$)•($\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow$)≠-1.
∴$\sqrt{3}$$(-\sqrt{3}-λ\sqrt{3})$+$(\frac{5}{3}+\frac{1}{3}λ)$<0,解得:$λ>-\frac{1}{2}$.
由$\sqrt{3}$$(\frac{5}{3}+\frac{1}{3}λ)$-$(-\sqrt{3}-\sqrt{3}λ)$=0,解得:λ=-2.
綜上可得:λ的取值范圍是$(-\frac{1}{2},+∞)$.

點評 本題考查了向量坐標運算、向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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