Question

18．棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知E，F(xiàn)在棱C₁D₁上運(yùn)動(dòng)，且EF=1，P為CC₁的中點(diǎn)，若Q在AB上運(yùn)動(dòng)，則四面體QEFP的體積為$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 如圖所示，連接BC₁，過(guò)中點(diǎn)P作PM⊥BC₁，垂足為M．利用正方體的性質(zhì)與面面垂直的性質(zhì)可得：PM⊥平面ABC₁D₁．PM=PC₁sin45°．S_△EFQ=$\frac{1}{2}EF•B{C}_{1}$．可得V_P-EFQ=$\frac{1}{3}PM•{S}_{△EFQ}$．

解答 解：如圖所示，
連接BC₁，過(guò)中點(diǎn)P作PM⊥BC₁，垂足為M．
由正方體的性質(zhì)可得：平面ABC₁D₁⊥平面BCC₁B₁，
則PM⊥平面ABC₁D₁．
PM=PC₁sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
S_△EFQ=$\frac{1}{2}EF•B{C}_{1}$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$．
∴V_P-EFQ=$\frac{1}{3}PM•{S}_{△EFQ}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{6}$．
故答案為：$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．