Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（cosα，sinα），Q（$\frac{3}{2}$，0），其中0＜α＜$\frac{π}{2}$．
（1）若$\overrightarrow{PQ}$$⊥\overrightarrow{PO}$，求cosα的值；
（2）若|$\overrightarrow{PQ}$|=|$\overrightarrow{PO}$|，求sin（2α-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積德運(yùn)算和向量垂直的條件可得cosα=$\frac{2}{3}$，
（2）利用向量的模的計(jì)算得到cosα=$\frac{3}{4}$，再根據(jù)角的范圍和二倍公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角差的正弦公式即可求出．

解答 解：（1）∵P（cosα，sinα），Q（$\frac{3}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{3}{2}$-cosα，-sinα），$\overrightarrow{PO}$=（-cosα，-sinα），
∵$\overrightarrow{PQ}$$⊥\overrightarrow{PO}$，
∴$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{PO}$=0，
∴-$\frac{3}{2}$cosα+cos²α+sin²α=0
∴cosα=$\frac{2}{3}$；
（2）|$\overrightarrow{PQ}$|=|$\overrightarrow{PO}$|，
∴（$\frac{3}{2}$-cosα）²+（-sinα）²=（-cosα）²+（-sinα）²，
∴cosα=$\frac{3}{4}$，
∴cos2α=2cos²α-1=2×$\frac{9}{16}$-1=$\frac{1}{8}$，
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴0＜2α＜π，
∴sin2α=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
∴sin（2α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2α-cos2α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{3\sqrt{7}}{8}$-$\frac{1}{8}$）=$\frac{3\sqrt{14}-\sqrt{2}}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積德運(yùn)算模的計(jì)算，同角的三角函數(shù)的關(guān)系，二倍角公式，兩角差的正弦公式，屬于中檔題．