Question

11．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=A•2ⁿ-B，且A+B=2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{lo{g}_{2}{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵前n項(xiàng)和S_n=A•2ⁿ-B，
∴a₁=2A-B，a₁+a₂=4A-B，a₁+a₂+a₃=8A-B，
解得a₁=2A-B，a₂=2A，a₃=4A，
由${a}_{2}^{2}$=a₁a₃可得：4A²=（2A-B）×4A，又A+B=2．
聯(lián)立解得A=B=1，
∴a₁=1，a₂=2，∴q=2．
∴a_n=2^n-1．
（2）b_n=$\frac{lo{g}_{2}{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．