Question

12．已知函數(shù)f（x）=kx²+（k-3）x+1的圖象與x軸在原點(diǎn)的右側(cè)有交點(diǎn)，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，二次函數(shù)的圖象與x軸在原點(diǎn)的右側(cè)有公共點(diǎn)，有兩種情況，一是只有一個在右側(cè)，二是兩個都在右側(cè)，分類討論即可．

解答 解：（1）當(dāng)k=0時，f（x）=-3x+1，直線與x軸的交點(diǎn)為（$\frac{1}{3}$，0），在原點(diǎn)右側(cè)，符合題意；
（2）當(dāng)k≠0時，∵f（0）=1，∴拋物線過點(diǎn)（0，1）；
若k＜0時，f（x）的開口向下，對稱軸x=-$\frac{k-3}{2k}$＜0，如圖所示；

∴二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)必然是一個在原點(diǎn)右側(cè)，一個在原點(diǎn)左側(cè)，滿足題意；
若k＞0，f（x）的開口向上，如圖所示，

要使函數(shù)的零點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，當(dāng)且僅當(dāng)△=（k-3）²-4k≥0，
且對稱軸x=-$\frac{k-3}{2k}$＞0即可，如圖所示，解得：1≤k＜3；
綜上，k的取值范圍是[1，3）∪（-∞，0]．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是中檔題．