Question

2．如圖，四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E為PB的中點(diǎn)．
（1）求證：CE∥平面PAD．
（2）在線段AB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，證明你的結(jié)論，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH，證明四邊形DCEH是平行四邊形，即可證明CE∥平面PAD．
（2）取AB的中點(diǎn)F，連接CF，EF，證明四邊形AFCD為平行四邊形，可得CF∥AD．又CF?平面PAD，所以CF∥平面PAD，結(jié)合（1），即可證明平面PAD∥平面CEF．

解答 （1）證明：如圖所示，取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH．
因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，
所以EH∥AB，EH=$\frac{1}{2}$AB．
又AB∥CD，CD=$\frac{1}{2}$AB，
所以EH∥CD，EH=CD．
因此四邊形DCEH是平行四邊形，
所以CE∥DH．
又DH?平面PAD，CE?平面PAD，
因此CE∥平面PAD．
（2）解：如圖所示，取AB的中點(diǎn)F，連接CF，EF，
所以AF=$\frac{1}{2}$AB．
又CD=$\frac{1}{2}$AB，所以AF=CD．
又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形，
因此CF∥AD．
又CF?平面PAD，所以CF∥平面PAD．
由（1）可知CE∥平面PAD．
因?yàn)镃E∩EF=E，故平面CEF∥平面PAD．

點(diǎn)評(píng) 此題考查直線與平面平行的判斷及平面與平面平行的判斷，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確證明直線與平面平行是關(guān)鍵．