Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的

2

倍，斜率為1的直線l與橢圓相交，截得的弦長(zhǎng)為正整數(shù)的直線l恰有7條，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為（　　）

• A、

  x2

  6

  +

  y2

  3

  =1
• B、

  x2

  4

  +

  y2

  2

  =1
• C、

  x2

  16

  +

  y2

  8

  =1
• D、

  x2

  12

  +

  y2

  6

  =1

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：

分析：橢圓即即

x2

2b2

+

y2

b2

=1（b＞0），由題意可得這7條弦長(zhǎng)分別為1，2，3，4，3，2，1，且過(guò)原點(diǎn)的弦長(zhǎng)等于4，把y=x，代入橢圓化簡(jiǎn)并利用根與系數(shù)的關(guān)系可解得正數(shù)b的值，即可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的

2

倍，
∴橢圓即

x2

2b2

+

y2

b2

=1（b＞0），
由題意可得這7條弦長(zhǎng)分別為1，2，3，4，3，2，1，且過(guò)原點(diǎn)的弦長(zhǎng)等于4．  
把 y=x代入橢圓可得3x²=2b²，∴x₁+x₂=0，x₁•x₂=

-2b2

3

，
故有4=

2

•

0+ 8b2 3

，∴b²=3，
∴a²=6，
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

6

+

y2

3

=1
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，開(kāi)車(chē)直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定7條弦長(zhǎng)分別為1，2，3，4，3，2，1，且過(guò)原點(diǎn)的弦長(zhǎng)等于4，是關(guān)鍵．