Question

5．求證：
（1）$\frac{sinα-cosα+1}{sinα+cosα-1}=\frac{1+sinα}{cosα}$；
（2）2（sin⁶θ+cos⁶θ）-3（sin⁴θ+cos⁴θ）+1=0．

Answer 1

分析 （1）直接利用分析法證明三角恒等式．
（2）利用平方和公式，立方和公式變形化簡(jiǎn)sin⁴θ+cos⁴θ，sin⁶θ+cos⁶θ，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡(jiǎn)計(jì)算即可得證．

解答 證明：（1）要證$\frac{sinα-cosα+1}{sinα+cosα-1}=\frac{1+sinα}{cosα}$，
需要證cosα（sinα-cosα+1）=（1+sinα）（sinα+cosα-1），
即證sinαcosα-cos²α+cosα=sinα+cosα-1+sin²α+sinαcosα-sinα，
也就是證：sin²α+cos²α=1，此式顯然成立．
∴$\frac{sinα-cosα+1}{sinα+cosα-1}=\frac{1+sinα}{cosα}$．
（2）∵sin⁴θ+cos⁴θ=（sin²α+cos²α）²-2sin²αcos²α=1-2sin²αcos²α，
∴sin⁶θ+cos⁶θ=（sin²α+cos²α）（sin⁴α+cos⁴α-sin²αcos²α）=1-3sin²αcos²α，
∴2（sin⁶θ+cos⁶θ）-3（sin⁴θ+cos⁴θ）+1
=2（1-3sin²αcos²α）-3（1-2sin²αcos²α）+1
=2-6sin²αcos²α-3+6sin²αcos²α+1
=0．
得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等式的證明，考查了分析法證明三角恒等式，解題中要注意一些常見式子的變形形式，關(guān)鍵是掌握分析法證題的步驟，屬于中檔題．