Question

9．已知點(diǎn)P（x，y）在圓x²+（y-1）²=1上運(yùn)動(dòng)．
（1）求$\frac{y-1}{x-2}$的最大值與最小值．
（2）求x²+y²的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想能求出$\frac{y-1}{x-2}$的最大值與最小值．
（2）由圓的參數(shù)方程得$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$，0≤θ＜2π，由此能求出x²+y²的最大值和最小值．

解答 解：（1）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，當(dāng)P與C（或D）重合時(shí)，直線BC（BD）與圓A相切，
設(shè)直線BC解析式為y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0，
∴圓心（0，1）到直線BC的距離d=r，即$\frac{|-2k|}{{k}^{2}+1}$=1，
解得：k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤$\frac{y-1}{x-2}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{y-1}{x-2}$的最大值與最小值分別為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）∵點(diǎn)P（x，y）在圓x²+（y-1）²=1上運(yùn)動(dòng)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$，0≤θ＜2π，
∴x²+y²=cos²θ+（1+sinθ）²
=2sinθ+2，
∴x²+y²的最大值為4，最小值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式的最大值和最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想和圓的參數(shù)方程的合理運(yùn)用．