Question

17．已知m∈R，且（$\frac{m+i}{1+2i}$）²＜0，則下列關(guān)于函數(shù)f（x）=x^m說法正確的是（　　）

• A． f（x）為R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)
• B． f（x）為R上單調(diào)遞增的偶函數(shù)
• C． f（x）為偶函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞減
• D． f（x）為偶函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞增

Answer 1

分析 化簡復(fù)數(shù)的式子可得m=-2，由冪函數(shù)的性質(zhì)可得．

解答 解：化簡可得$\frac{m+i}{1+2i}$=$\frac{（m+i）（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}$=$\frac{（m+2）+（1-2m）i}{5}$，
∴（$\frac{m+i}{1+2i}$）²=$\frac{（m+2）^{2}-（1-2m）^{2}+2（m+2）（1-2m）i}{25}$，
由（$\frac{m+i}{1+2i}$）²＜0可得$\left\{\begin{array}{l}{2（m+2）（1-2m）=0}\\{（m+2）^{2}-（1-2m）^{2}＜0}\end{array}\right.$，
解得m=-2，故函數(shù)f（x）=x^m=x^-2，
由冪函數(shù)可知f（x）為偶函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，涉及冪函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．