Question

18．命題p：復數(shù)z=（m²+m+1）+（m²-3m）i，m∈R表示的點位于復平面第四象限
命題q：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（4m-1）x²+（15m²-2m-7）x+2在R上是增函數(shù)
如果命題“p∧q”為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)復數(shù)的幾何意義求出p的等價條件，利用導數(shù)與單調性之間的關系求出q的等價條件，結合復合命題真假之間的關系進行求解即可．

解答 解：若復數(shù)z=（m²+m+1）+（m²-3m）i，m∈R表示的點位于復平面第四象．
則$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m+1＞0}\\{{m}^{2}-3m＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x∈R}\\{0＜m＜3}\end{array}\right.$，即0＜m＜3，
p：0＜m＜3．
若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（4m-1）x²+（15m²-2m-7）x+2在R上是增函數(shù)，
則f′（x）=x²-2（4m-1）x+（15m²-2m-7）≥0在R上是增函數(shù)
即判別式△=4（4m-1）²-4（15m²-2m-7）=4（m²-6m+8）=4（m-2）（m-4）≤0，
則2≤m≤4，
即q：2≤m≤4，
若命題“p∧q”為真命題，則p真q真，
即$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜3}\\{2≤m≤4}\end{array}\right.$，即 2≤m＜3．

點評 本題主要考查復合命題真假之間的關系，求出命題的等價條件是解決本題的關鍵．