Question

19．已知函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$cos2x+1，x∈R，函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)（x，y）是函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)，利用對(duì)稱性得到點(diǎn)（-x，-y）在y=g（x）的
圖象上，然后求解函數(shù)的解析式．
（2）利用兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，通過正弦函數(shù)的單調(diào)性求解單調(diào)區(qū)間，然后求解函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 （本題滿分12分） 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分（5分），第2小題滿分（7分）．
解（1）設(shè)點(diǎn)（x，y）是函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)，由題意可知，點(diǎn)（-x，-y）在y=g（x）的
圖象上，
于是有$-y=\frac{1}{2}sin（-2x）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos（-2x）+1，x∈R$．
所以，$f（x）=\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-1$，x∈R．
（理科）
（2）由（1）可知，$f（x）=\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-1=sin（2x+\frac{π}{3}）-1，x∈[0，π]$，記D=[0，π]．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，解得$kπ-\frac{5}{12}π≤x≤kπ+\frac{π}{12}，k∈Z$，
則函數(shù)f（x）在形如$[kπ-\frac{5}{12}π，kπ+\frac{π}{12}]，k∈Z$的區(qū)間上單調(diào)遞增．
結(jié)合定義域，可知上述區(qū)間中符合題意的整數(shù)k只能是0和1．
令k=0得${D_1}=[-\frac{5}{12}π，\frac{π}{12}]$；k=1時(shí)，得${D_1}=[\frac{7}{12}π，\frac{13}{12}π]$．
所以，$D∩{D_1}=[0，\frac{π}{12}]$，$D∩{D_2}=[\frac{7}{12}π，π]$．
于是，函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是$[0，\frac{π}{12}]$和$[\frac{7}{12}π，π]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，兩角和與差的三角函數(shù)正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．