Question

5．在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長(zhǎng)AB=3m，BC=4m，高BB₁=5m，求：
（1）寫出B₁D、BC₁在平面ABCD內(nèi)的射影；
（2）對(duì)角線DB₁與平面ABCD所成角的大��；
（3）BC₁與平面ABCD所成角的正切．

Answer 1

分析 （1）由B₁B⊥平面ABCD，垂足為B，C₁C⊥平面ABCD，垂足為C，能求出B₁D、BC₁在平面ABCD內(nèi)的射影．
（2）由B₁B⊥平面ABCD，得∠B₁DB是對(duì)角線DB₁與平面ABCD所成角，由此能求出對(duì)角線DB₁與平面ABCD所成角的大小．
（3）由C₁C⊥平面ABCD，得∠C₁BC是BC₁與平面ABCD所成角，由此能求出BC₁與平面ABCD所成角的正切．

解答 解：（1）∵B₁B⊥平面ABCD，垂足為B，
∴B₁D在平面ABCD內(nèi)的射影為BD；
∵C₁C⊥平面ABCD，垂足為C，
∴BC₁在平面ABCD內(nèi)的射影為BC．
（2）∵B₁B⊥平面ABCD，垂足為B，B₁D在平面ABCD內(nèi)的射影為BD，
∴∠B₁DB是對(duì)角線DB₁與平面ABCD所成角，
∵在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長(zhǎng)AB=3m，BC=4m，高BB₁=5m，
∴BD=$\sqrt{9+16}$=5（m），
∴tan∠B₁DB=$\frac{B{B}_{1}}{BD}$=$\frac{5}{5}$=1，∴∠B₁DB=45°，
∴對(duì)角線DB₁與平面ABCD所成角的大小為45°．
（3）∵C₁C⊥平面ABCD，垂足為C，BC₁在平面ABCD內(nèi)的射影為BC，
∴∠C₁BC是BC₁與平面ABCD所成角，
tan∠C₁BC=$\frac{C{C}_{1}}{BC}$=$\frac{5}{4}$，
∴BC₁與平面ABCD所成角的正切為$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線在平面中的射影的求法，考查線面的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．