Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=2，a_n+1=S_n+2，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a₁，a₂分別是等差數(shù)列{b_n}的第2項(xiàng)和第4項(xiàng)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{T}_{i}}$．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用a_n=S_n-S_n-1，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求；
（2）求得等差數(shù)列{b_n}的第2項(xiàng)和第4項(xiàng)，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得公差和首項(xiàng)，再由求和公式可得T_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和化簡(jiǎn)整理，即可得到．

解答 解：（1）a_n+1=S_n+2，可得
n＞1時(shí)，a_n=S_n-1+2，
兩式相減可得，a_n+1-a_n=S_n+2-（S_n-1+2），
即為a_n+1-a_n=a_n，即a_n+1=2a_n，
由a₂=S₁+2=4，可得a_n=a₂2^n-2=2ⁿ；對(duì)n=1也成立．
則a_n=2ⁿ，n∈N^*．
（2）喲題意可得b₂=a₁=2，b₄=a₂=4，
公差d=$\frac{_{4}-_{2}}{4-2}$=1，b₁=1，
前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
即有$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{T}_{i}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，屬于中檔題．