Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{2}$+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0，求出a，再進(jìn)行驗(yàn)證；
（2）先判斷函數(shù)單調(diào)遞減，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義用作差比較法證明；
（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（0）=0，
即$\frac{a}{2}$+$\frac{2}{2}$=0，解得a=-2，
此時(shí)，f（x）=$\frac{1-2^x}{1+2^x}$，再驗(yàn)證如下：
f（x）+f（-x）=$\frac{1-2^x}{1+2^x}$+$\frac{1-{2}^{-x}}{1+{2}^{-x}}$=$\frac{1-2^x}{1+2^x}$-$\frac{1-2^x}{1+2^x}$=0，
所以，f（x）為定義域上的奇函數(shù)；
（2）因?yàn)閒（x）=$\frac{2}{2^x+1}$-1，
所以，f（x）為R上的減函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=2[$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$]=2×$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
以為，x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂），
因此，f（x）為（-∞，+∞）上的單調(diào)遞減函數(shù)；
（3）因?yàn)閒（x）=$\frac{2}{2^x+1}$-1，
其中，2^x+1∈（1，+∞），所以，$\frac{2}{2^x+1}$∈（0，2），
所以，f（x）∈（-1，1），
因此，f（x）的值域?yàn)椋海?1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，以及函數(shù)值域的解法，屬于中檔題．