Question

13．已知扇形AOB的圓心角∠AOB=$\frac{π}{6}$，半徑OA=1，在$\widehat{AB}$上有一個動點M，過M作矩形MNPQ，如圖，設(shè)∠AOM=θ，記矩形MNPQ的面積為S．
（1）求函數(shù)S=f（θ）的解析式；
（2）當θ為何值時，S取得最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）在Rt△MOQ中，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得矩形的底和高，可得關(guān)于矩形的面積S的解析式，化簡可得結(jié)果．
（2）由S的解析式并利用正弦函數(shù)的定義域有何值域可得，當2θ+30°=90°時2θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，面積S取得最大值．

解答 解：（1）在Rt△MOQ中，MQ=NP=sinθ，OQ=cosθ．
故在Rt△OPN中，OP=$\frac{NP}{tan\frac{π}{6}}=\frac{sinθ}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$sinθ，
所PQ=OQ-OP=cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，
則矩形的面積S=f（θ）=PQ•MQ=sinθ（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ）=sinθcosθ-$\sqrt{3}$sin²θ
=$\frac{1}{2}$sin2θ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-cos2θ）
=$\frac{1}{2}$sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2θ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2θ+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，（0＜θ＜$\frac{π}{6}$）．
（2）∵0＜θ＜$\frac{π}{6}$，∴0＜2θ＜$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$＜2θ+$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
故當2θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，S取得最大值，此時S=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．