Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象過點（0，2），且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

．
（1）當(dāng)x∈[

π

6

，

5π

6

]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）設(shè)g（x）=f（x+

π

6

），求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）將（0，2）代入f（x）計算求出φ的度數(shù)，再根據(jù)函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

，確定出ω的值，即可確定出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)f（x）確定出g（x）解析式，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定出g（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）將（0，2）代入得：2=

3

sinφ-cosφ=2sin（φ-

π

6

），即sin（φ-

π

6

）=1，
∵0＜φ＜π，
∴φ-

π

6

=

π

2

，即φ=

2π

3

，
∴f（x）=

3

sin（ωx+

2π

3

）-cos（ωx+

2π

3

）=2sin（ωx+

2π

3

-

π

6

）=2sin（ωx+

π

2

）=2cosωx，
∵y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

，
∴函數(shù)最小正周期為π，
∴ω=2，
則函數(shù)解析式為f（x）=2cos2x；
（2）g（x）=f（x+

π

6

）=2cos2（x+

π

6

）=2cos（2x+

π

3

），
令2kπ-π≤2x+

π

3

≤2kπ，k∈Z，解得：-

2π

3

+kπ≤x≤-

π

6

+kπ，k∈Z，
令2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，k∈Z，解得：-

π

6

+kπ≤≤

π

3

+kπ，k∈Z，
則g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

2π

3

+kπ，-

π

6

+kπ]，k∈Z；遞減區(qū)間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．