Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x+1|+|x-1|-m}$的定義域?yàn)镽．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若m的最大值為n，當(dāng)正數(shù)a，b滿足$\frac{2}{3a+b}$+$\frac{1}{a+2b}$=n時(shí)，求7a+4b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得|x+1|+|x-1|-m≥0恒成立，可設(shè)函數(shù)g（x）=|x+1|+|x-1|，運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，可得g（x）的最小值為2，即有m≤2；
（2）運(yùn)用乘1法，變形可得7a+4b=$\frac{1}{2}$（7a+4b）（$\frac{2}{3a+b}$+$\frac{1}{a+2b}$）=$\frac{1}{2}$[2（3a+b）+（a+2b）]（$\frac{2}{3a+b}$+$\frac{1}{a+2b}$），展開(kāi)后運(yùn)用基本不等式，可得最小值，注意等號(hào)成立的條件．

解答 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽，
所以|x+1|+|x-1|-m≥0恒成立．
設(shè)函數(shù)g（x）=|x+1|+|x-1|，則m不大于函數(shù)g（x）的最小值．
又|x+1|+|x-1|≥|（x+1）-（x-1）|=2，
即g（x）的最小值為2，所以m≤2．
故m的取值范圍為（-∞，2]；
（2）由（1）知n=2，正數(shù)a，b滿足$\frac{2}{3a+b}$+$\frac{1}{a+2b}$=2，
所以7a+4b=$\frac{1}{2}$（7a+4b）（$\frac{2}{3a+b}$+$\frac{1}{a+2b}$）
=$\frac{1}{2}$[2（3a+b）+（a+2b）]（$\frac{2}{3a+b}$+$\frac{1}{a+2b}$）
=$\frac{1}{2}$[5+$\frac{2（3a+b）}{a+2b}$+$\frac{2（a+2b）}{3a+b}$]≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{4}$）=$\frac{9}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a+2b=3a+b，即b=2a=$\frac{3}{5}$時(shí)，等號(hào)成立．
所以7a+4b的最小值為$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域和最值的求法，注意運(yùn)用恒成立思想，運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，以及乘1法和基本不等式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．