Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+1．
（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若$\frac{1}{3}$≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表達式；
（3）在（2）的條件下，求g（a）的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過討論a的符合，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）通過討論a的范圍，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值，進而求出g（a）的解析式；
（3）根據(jù)a的范圍，求出g（a）的單調(diào)性，從而求出g（a）的最小值．

解答 解：（1）a=0時：f（x）=-2x+1，函數(shù)在R上遞減，
a＞0時：f（x）的對稱軸x=$\frac{1}{a}$，函數(shù)f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增，
a＜0時：f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減；
（2）∵$\frac{1}{3}$≤a≤1，∴f（x）的圖象為開口向上的拋物線，且對稱軸為x=$\frac{1}{a}$∈[1，3]．
∴f（x）有最小值N（a）=1-$\frac{1}{a}$．
當2≤$\frac{1}{a}$≤3時，a∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，f（x）有最大值M（a）=f（1）
=a-1；
當1≤$\frac{1}{a}$＜2時，a∈（$\frac{1}{2}$，1]，f（x）有最大值M（a）=f（3）
=9a-5；
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a-2+\frac{1}{a}，\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}}\\{9a-6+\frac{1}{a}，\frac{1}{2}＜a≤1}\end{array}\right.$
（3）設(shè)$\frac{1}{3}$≤a₁＜a₂≤$\frac{1}{2}$，則g（a₁）-g（a₂）
=（a₁-a₂）（1-$\frac{1}{a1a2}$）＞0，
∴g（a₁）＞g（a₂），
∴g（a）在[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]上是減函數(shù)．
設(shè)$\frac{1}{2}$＜a₁＜a₂≤1，則g（a₁）-g（a₂）=（a₁-a₂）（9-$\frac{1}{a1a2}$）＜0，∴g（a₁）＜g（a₂），
∴g（a）在（$\frac{1}{2}$，1]上是增函數(shù)．
∴當a=$\frac{1}{2}$時，g（a）有最小值$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查分類討論思想，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．