Question

15．已知平面OAB、OBC、OAC相交于一點O，∠AOB-∠BOC=∠COA=60°，求直線OA與平面OBC所成的角．

Answer 1

分析 在直線OA，OB，OC上分別取點D，E，F(xiàn)并使得OD=OE=OF=2，這樣即可得到正四面體O-DEF，從而求OD和平面OEF所成角即可：取EF中點G，并連接DG，OG，能夠說明∠DOG便為直線OD和平面OEF所成角，根據(jù)余弦定理求出該角即可．

解答 解：如圖，分別在直線OA，OB，OC上取D，E，F(xiàn)，使OD=OE=OF=2，并連接DE，EF，F(xiàn)D，則根據(jù)已知條件：△ODE，△OEF，△ODF都為等邊三角形；
取EF中點G，連接DG，OG則，DG⊥EF，OG⊥EF，DG∩OG=G；
∴EF⊥平面DOG；
作DH⊥OG，垂足為H，則：EF⊥DH；
即DH⊥OG，DH⊥EF，OG∩EF=G；
∴DH⊥平面OEF，即DH⊥平面OBC；
∴∠DOH便為OA和平面OBC所成角；
能夠求出$DG=OG=\sqrt{3}$；
∴在△DOG中，由余弦定理得：cos∠DOG=$\frac{O{D}^{2}+O{G}^{2}-D{G}^{2}}{2OD•OG}=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴直線OA與平面OBC所成的角為arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 考查等邊三角形的定義，等邊三角形的中線也是高線，線面垂直的判定定理，線面垂直的性質(zhì)，以及線面角的定義，余弦定理．