Question

17．已知在三棱錐P-ABC中，PA=4，AC=2$\sqrt{7}$，PB=BC=2$\sqrt{3}$，PA⊥平面PBC，則三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的表面積為（　　）

• A． $\frac{3}{2}$π
• B． 3π
• C． $\frac{9}{4}$π
• D． 4π

Answer 1

分析 確定△PBC為等邊三角形，△ABC為等腰三角形，分別求出四面體P-ABC的內(nèi)切球半徑，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，已知PA⊥面PBC，PA=4，PB=BC=2$\sqrt{3}$，AC=2$\sqrt{7}$，
所以，由勾股定理得到：AB=2$\sqrt{7}$，PC=2$\sqrt{3}$，
所以，△PBC為等邊三角形，△ABC為等腰三角形
等邊三角形PBC所在的小圓的直徑PD=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4，
那么，四面體P-ABC的外接球直徑2R=4$\sqrt{2}$，所以，R=2$\sqrt{2}$，
V_P-ABC=$\frac{1}{3}$S_△PBC×PA=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×12×4=4$\sqrt{3}$，
表面積S=$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{3}×$4×2+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×12+$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{3}×$5=16$\sqrt{3}$，
設(shè)內(nèi)切球半徑為r，那么4$\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}×$16$\sqrt{3}$r，所以r=$\frac{3}{4}$，
所以三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的表面積為4π×$\frac{9}{16}$=$\frac{9π}{4}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四面體P-ABC的內(nèi)切球表面積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的半徑是關(guān)鍵，屬于中檔題．