Question

6．已知x，y∈（-∞，0），且x+y=-1，則xy+$\frac{1}{xy}$有（　�。�

• A． 最大值$\frac{17}{4}$
• B． 最小值$\frac{17}{4}$
• C． 最小值-$\frac{17}{4}$
• D． 最大值-$\frac{17}{4}$

Answer 1

分析 由基本不等式易得xy∈（0，$\frac{1}{4}$]，換元可得z=t+$\frac{1}{t}$，t∈（0，$\frac{1}{4}$]，由“對(duì)勾函數(shù)”的單調(diào)性可得．

解答 解：∵x，y∈（-∞，0），且x+y=-1，
∴-x，-y∈（0，+∞），且（-x）+（-y）=1，
∴由基本不等式可得xy=（-x）（-y）≤$[\frac{（-x）+（-y）}{2}]^{2}$=$\frac{1}{4}$
當(dāng)且僅當(dāng)-x=-y即x=y=-$\frac{1}{2}$時(shí)，上式取最大值$\frac{1}{4}$，即xy∈（0，$\frac{1}{4}$]，
令xy=t，則t∈（0，$\frac{1}{4}$]，已知式子化為z=t+$\frac{1}{t}$，
由函數(shù)的單調(diào)性易得函數(shù)z=t+$\frac{1}{t}$在t∈（0，$\frac{1}{4}$]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{4}$時(shí)，xy+$\frac{1}{xy}$有最小值$\frac{1}{4}$+4=$\frac{17}{4}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，涉及“對(duì)勾函數(shù)”的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．