Question

7．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且對于任意的x＞0，f′（x）＜x恒成立，則不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$的解集為（　�。�

• A． （-∞，1）
• B． （1，+∞）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$，求導g′（x）=f′（x）-x，從而確定不等式的解集．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$，
g′（x）=f′（x）-x，
∵對任意的x∈R．都有f′（x）＜x成立，
∴對任意的x∈R，g′（x）＜0，
∴g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$在R上是減函數(shù)，
且g（1）=f（1）-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=0，
故不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$的解集為（1，+∞），
故選B．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應用．