Question

8．設(shè)定義域為R的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x+2），x≥-1}\\{{x}^{2}+4x+4，x＜-1}\end{array}\right.$．
（1）在平面直角坐標(biāo)內(nèi)作出函數(shù)f（x）的圖象，并指出f（x）的單調(diào)區(qū)間（不需證明）；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-2a=0有兩個不相等的實數(shù)根，求a的取值范圍（只需簡單說明，不需嚴(yán)格證明）；
（3）設(shè)g（x）為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，g（x）=f（x），求g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)解析式，可得函數(shù)的圖象，從而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）在同一坐標(biāo)系中同時作出y=f（x），y=2a圖象，由圖可知f（x）-2a=0有兩個解，須2a=0或2a≥1，從而可求a的取值范圍；
（3）求出x＜0時，函數(shù)的解析式，即可求得g（x）的解析式．

解答 解 （1）如圖．…（3分）
單增區(qū)間：[-2，-1），[-1，+∞）單減區(qū)間（-∞，-2]，…（5分）
（2）在同一坐標(biāo)系中同時作出y=f（x），y=2a圖象，由圖可知f（x）-2a=0有兩個解
須2a=0或2a≥1，即a=0或a≥$\frac{1}{2}$  …（8分）
（3）當(dāng)x＜0時，-x＞0，∴g（-x）=log₂（-x+2），
因為g（x）為奇函數(shù)，所以g（x）=-log₂（-x+2），…（10分）
且g（0）=0，所以g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x+2），x＞0}\\{0，x=0}\\{-lo{g}_{2}（-x+2），x＜0}\end{array}\right.$…（12分）

點評 本題考查分段函數(shù)的運用，考查函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，正確做好函數(shù)的圖象是關(guān)鍵．