Question

11．某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B，A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	x1	$\frac{1}{3}$	x2	$\frac{7}{3}$	x3
Asin（ωx+ϕ）+B	0	$\sqrt{3}$	0	-$\sqrt{3}$	0

（Ⅰ）請求出上表中的x₁、x₂、x₃，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將f（x）的圖象沿x軸向右平移$\frac{2}{3}$個單位得到函數(shù)g（x），當(dāng)x∈[0，4]時其圖象的最高點和最低點分別為P，Q，求$\overrightarrow{OQ}$與$\overrightarrow{QP}$夾角θ的大小．

Answer 1

分析 （1）$由\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}ω+ϕ=\frac{π}{2}}\\{\frac{7}{3}ω+ϕ=\frac{3π}{2}}\end{array}}\right.，得\left\{{\begin{array}{l}{ω=\frac{π}{2}}\\{ϕ=\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$，由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{π}{2}{x_1}+\frac{π}{3}=0}\\{\frac{π}{2}{x_2}+\frac{π}{3}=π}\\{\frac{π}{2}{x_3}+\frac{π}{3}=2π}\end{array}}\right.$，解得x₁、x₂、x₃的值，再求得A，B即可得解函數(shù)f（x）的解析式．
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律可得：$g（x）=\sqrt{3}sin\frac{π}{2}x$，求得圖象的最高點和最低點P，Q的坐標(biāo)，可得向量$\overrightarrow{OQ}$與$\overrightarrow{QP}$坐標(biāo)，由平面向量的數(shù)量積運算即可求得夾角θ的大�。�

解答 解：（1）$由\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}ω+ϕ=\frac{π}{2}}\\{\frac{7}{3}ω+ϕ=\frac{3π}{2}}\end{array}}\right.，得\left\{{\begin{array}{l}{ω=\frac{π}{2}}\\{ϕ=\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$（2′）
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{π}{2}{x_1}+\frac{π}{3}=0}\\{\frac{π}{2}{x_2}+\frac{π}{3}=π}\\{\frac{π}{2}{x_3}+\frac{π}{3}=2π}\end{array}}\right.$，
∴${x_1}=-\frac{2}{3}$，${x_2}=\frac{4}{3}$，${x_3}=\frac{10}{3}$（5′）
又∵$A=\sqrt{3}，B=0$，$f（x）=\sqrt{3}sin（\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}）$；（6′）
（2）將f（x）的圖象向右平移$\frac{2}{3}$個單位后得到$g（x）=\sqrt{3}sin\frac{π}{2}x$（8′）
故最高點為$P（{1，\sqrt{3}}）$，最低點為$Q（{3，-\sqrt{3}}）$．
則$\overrightarrow{OQ}=（{3，-\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{QP}=（{-2，2\sqrt{3}}）$，則$cosθ=\frac{{\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{QP}}}{{|{\overrightarrow{OQ}}|•|{\overrightarrow{QP}}|}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（10′）
故$θ=\frac{5π}{6}$．（12′）

點評 本題主要考查了五點法作正弦函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，考查了平面向量及其應(yīng)用，熟練掌握和靈活應(yīng)用相關(guān)公式及定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．