Question

19．我們把離心率e=$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$的雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$稱為黃金雙曲線．給出以下幾個說法：
（1）雙曲線x²-$\frac{{2{y^2}}}{{\sqrt{5}+1}}$=1是黃金雙曲線；
（2）若b²=ac，則該雙曲線是黃金雙曲線；
（3）若MN經(jīng)過右焦點F₂且MN⊥F₁F₂，∠MON=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線；
（4）若F₁，F(xiàn)₂為左右焦點，A₁，A₂為左右頂點，B₁（0，b），B₂（0，-b）且∠F₁B₁A₂=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線． 其中正確命題的序號為（1）（2）（3）（4）．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線的簡單性質(zhì)分別求出離心率，再利用黃金雙曲線的定義求解．
（2）求出雙曲線的定義求出離心率，根據(jù)黃金雙曲線的定義求解．
（3）根據(jù)條件求出雙曲線的定義求出（2）的結(jié)論．
（4）根據(jù)條件求出離心率求出（2）的結(jié)論．

解答 解：（1）雙曲線x²-$\frac{2{y}^{2}}{\sqrt{5}+1}$=1中，$e=\frac{\sqrt{1+\frac{\sqrt{5}+1}{2}}}{1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
∴雙曲線x²-$\frac{2{y}^{2}}{\sqrt{5}+1}$=1是黃金雙曲線，故（1）正確；
對于（2）∵e對于（2）b²=ac，則e=$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}+ac}}{a}=\sqrt{1+e}$∴e²-e-1=0
解得$e=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$或e=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍）∴該雙曲線是黃金雙曲線，故（2）正確；
對于（3）如圖，MN經(jīng)過右焦點F₂且MN⊥F₁F₂，∠MON=90°，
∴NF₂=OF₂，∴$\frac{^{2}}{a}$=c，∴b²=ac，
由（2）知該雙曲線是黃金雙曲線，故（3）正確．
對于（4）如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左右焦點，A₁，A₂為左右頂點，
B₁（0，b），B₂（0，-b），且∠F₁B₁A₂=90°，
∴B₁F₁²+B₁A₂²=A₂F₁²，即b²+2c²=（a+c）²，
整理，得b²=ac，由（2）知該雙曲線是黃金雙曲線，故（4）正確；
故答案為：（1）（2）（3）（4）．

點評 本題考查黃金雙曲線的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的靈活運用．