Question

20．已知拋物線C的頂點在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，點A（1，2）為拋物線C上一點．
（1）求C的方程；
（2）若點B（1，-2）在C上，過B作C的兩弦BP與BQ，若k_BP•k_BQ=-2，求證：直線PQ過定點．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出拋物線方程，代入點A（1，2），即可求出C的方程；
（2）直線BP，BQ的斜率均存在，設(shè)直線BP的方程為y+2=k（x-1），y²=4x，消去y，求出P的坐標(biāo)，從而求出Q坐標(biāo)，確定直線PQ的方程，利用直線系方程求出定點坐標(biāo)．

解答 （1）解：設(shè)拋物線方程為y²=ax，代入點A（1，2），可得a=4，∴拋物線方程為y²=4x；
設(shè)拋物線方程為x²=my，代入點A（1，2），可得m=$\frac{1}{2}$，∴拋物線方程為x²=$\frac{1}{2}$y；
∴C的方程是y²=4x或x²=$\frac{1}{2}$y；
（2）證明：由（1）可得C的方程是y²=4x．
直線BP，BQ的斜率均存在，設(shè)直線BP的方程為y+2=k（x-1）
將直線BP的方程代入y²=4x，消去y，得k²x²-（2k²+4k+4）x+（k+2）²=0．
設(shè) P（x₁，y₁），∴x₁=$\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}}$
∴P（$\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}}$，$\frac{2k+4}{k}$）
以-$\frac{2}{k}$替換點P坐標(biāo)中的k，可得Q（（k-1）²，2-2k）
從而，直線PQ的斜率為$\frac{\frac{2k+4}{k}-2+2k}{\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}}-（k-1）^{2}}$=$\frac{2{k}^{3}+4k}{-{k}^{4}+2{k}^{3}+4k+4}$=$\frac{2k}{-{k}^{2}+2k+2}$
直線PQ的方程是y-2+2k=$\frac{2k}{-{k}^{2}+2k+2}$[x-（k-1）²]．
在上述方程中，令x=3，解得y=2．
∴直線PQ恒過定點（3，2）．

點評 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，難度比較大，是壓軸題．