Question

已知正三角形OEF的三個頂點（O為坐標原點）都在拋物線上x²=y，圓D為三角形OEF的外接圓．圓C的方程為（x-5cosα）²+（y-5sinα-2）²=1（a∈R），過圓C上任意一點M作圓D的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B，設(shè)d=|MA|．
（Ⅰ）求圓D的方程；
（Ⅱ）試用d表示

MA

•

MB

，并求

MA

•

MB

的最小值．

Answer 1

考點：圓的標準方程,平面向量數(shù)量積的運算

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）設(shè)E（x1，x12），F(xiàn)（x2，x22），x₁＞x₂，由已知得E（

3

，3），F(xiàn)（-

3

，3），由此能求出圓D的方程．
（Ⅱ）圓心C（5cosα，5sinα+2），從而|DC|=5，由圓的向何性質(zhì)，得4≤|DM|≤6，2

3

≤d≤4

2

，由此能求出

MA

•

MB

取得最小值為6．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)E（x1，x12），F(xiàn)（x2，x22），x₁＞x₂，
∵△OEF是正三角形，∴

3

2

×

(x1)2+(x12)2

=x12，
解得x1=

3

，則E（

3

，3），
同理，F(xiàn)（-

3

，3），
∴外接圓的圓心為（0，2），半徑為2，
故圓D的方程為x²+（y-2）²=4．
（Ⅱ）圓心C（5cosα，5sinα+2），
∴|DC|=5，
由圓的幾何性質(zhì)，得：
|DC|-1≤|DM|≤|DC|+1，即4≤|DM|≤6，
又|DA|=2，在Rt△DAM中，由勾股定理，得：
d=|MA|=

|DM|2-|DA|2

=

|DM|2-4

，
∴2

3

≤d≤4

2

，
設(shè)∠DMA=θ，則tanθ=

|DA|

|MA|

=

2

d

，
∴cos∠AMB=cos2θ=cos²θ-sin²θ
=

cos2θ-sin2θ

cos2θ+sin2θ

=

1-tan2θ

1+tan2θ

=

d2-4

d2+4

，
∴

MA

•

MB

=|

MA

|•|

MB

|cos∠AMB=d2•

d2-4

d2+4

，
令t=d²+4，則t∈[16，36]，
∴

MA

•

MB

=

(t-4)(t-8)

t

=t+

32

t

-12，
令f（t）=t+

32

t

-12，t∈[16，36]，
則f′（t）=1-

32

t2

=

t2-32

t2

＞0，
∴f（t）在[16，36]上單調(diào)遞增，
當(dāng)t=d²+4=16，即d=2

3

時，

MA

•

MB

取得最小值為6．

點評：本題考查圓D的方程的求法，考查

MA

•

MB

的最小值的求法，是中檔題，解題時要注意圓的性質(zhì)的合理運用．