Question

已知函數(shù)f（x）=|sinx|+|cosx|-sin2x-1（x∈R），則下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的序號(hào)）．
①f（x）是周期函數(shù)；
②f（x）的圖象關(guān)于x=

π

2

對(duì)稱；
③f（x）的最小值為

2

-2；
④f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]（k∈Z）；
⑤f（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2015個(gè)零點(diǎn)，則n的取值范圍為1.007.5＜n＜1008．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡易邏輯

分析：把函數(shù)f（x）=|sinx|+|cosx|-sin2x-1化為f（x）=

1+|sin2x|

-sin2x-1，然后直接由周期的定義求周期判斷①；
由f(

π

4

)≠f(

3π

4

)判斷②；換元后利用二次函數(shù)求最值判斷③；借助于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷④；求出函數(shù)在（0，π]內(nèi)的零點(diǎn)后分析使得f（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2015個(gè)零點(diǎn)的n的取值范圍判斷⑤．

解答： 解：f（x）=|sinx|+|cosx|-sin2x-1=

1+|sin2x|

-sin2x-1．
∵f（x+π）=f（x），∴f（x）是周期為π的函數(shù)，①正確；
∵f(

π

4

)≠f(

3π

4

)，∴f（x）的圖象不關(guān)于x=

π

2

對(duì)稱，②錯(cuò)誤；
∵f（x）是周期為π的函數(shù)，故只需研究f（x）在（0，π]上的最小值，
當(dāng)0≤sin2x≤1時(shí)，即x∈（0，

π

2

]時(shí)，f（x）=

1+sin2x

-sin2x-1，令t=

1+sin2x

，
則f（x）轉(zhuǎn)化為g（t）=-t²+t，t∈[1，

2

]，求得g（t）∈[

2

-2，0]；
當(dāng)-1≤sin2x≤0時(shí)，即x∈（

π

2

，π]時(shí)，同理求得g（t）∈[0，

2

]．
∴f（x）的最小值為

2

-2，命題③正確；
由③可知，當(dāng)x∈（0，

π

2

]，即t∈[1，

2

]時(shí)，g（t）在[1，

2

]上單調(diào)遞減，
f（x）=

1+sin2x

在（0，

π

4

]上遞增，在(

π

4

，

π

2

]上遞減，
∴f（x）在（0，

π

4

]上遞減，在(

π

4

，

π

2

]上遞增．
當(dāng)x∈（

π

2

，π]時(shí)，同理可得f（x）在(

π

2

，

3π

4

]上遞增，在(

3π

4

，π]上遞減．
∵f（x）為連續(xù)函數(shù)，故f（x）在[

π

4

，

3π

4

]上遞增．
又f（x）的周期為π，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]（k∈Z），④正確；
由已知函數(shù)解析式知，當(dāng)且僅當(dāng)sin2x=0時(shí)，f（x）=0，
當(dāng)x∈（0，π]時(shí)，f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)分別為

π

2

，π，
∵2015=2×1007+1，
∴當(dāng)1007.5＜n≤1008時(shí)，f（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2015個(gè)零點(diǎn)錯(cuò)誤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓(xùn)練了與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，是中檔題．