Question

4．已知橢圓方程C：$\frac{{x}^{2}}{m-2}$+$\frac{{y}^{2}}{7-m}$=1
（I）求實數(shù)m的取值范圍；
（II）當(dāng)m=6時，若橢圓的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，直線l過橢圓的左焦點F₁并且與橢圓C交于A，B兩點，求△ABF₂的周長．

Answer 1

分析 （I）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{m-2＞0}\\{7-m＞0}\\{m-2≠7-m}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（II）當(dāng)m=6時，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，則△ABF₂周長L=|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a．

解答 解：（I）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{m-2＞0}\\{7-m＞0}\\{m-2≠7-m}\end{array}\right.$，
解得2＜m＜7，且m$≠\frac{9}{2}$．
（II）當(dāng)m=6時，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
∴以a²=4，即a=2．
則△ABF₂周長L=|AB|+|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=4a=8．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．