Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-3x（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若x=$\frac{1}{3}$是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求函數(shù)f（x）在[-a，1]上的最大值；
（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出b的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），通過f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，得到f′（x）≥0．即可求出a的范圍．
（2）由f′（$\frac{1}{3}$）=0，求出a，然后求出極值點(diǎn)，求出極值以及端點(diǎn)函數(shù)值，即可得到最大值．
（3）兩個(gè)函數(shù)圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程x³+4x²-3x=bx恰有3個(gè)不等實(shí)根．利用判別式以及根的分布求解即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0．
∴-$\frac{a}{3}$≤1且f′（1）=2a≥0．
∴a≥0．
（2）由題意知f′（$\frac{1}{3}$）=0，即$\frac{1}{3}$+$\frac{2a}{3}$-3=0，
∴a=4．
∴f（x）=x³+4x²-3x．
令f′（x）=3x²+8x-3=0得x=$\frac{1}{3}$或x=-3．
∵f（-4）=12，f（-3）=18，f（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{14}{27}$，f（1）=2，
∴f（x）在[-a，1]上的最大值是f（-3）=18．
（3）若函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，即方程x³+4x²-3x=bx恰有3個(gè)不等實(shí)根．
∵x=0是其中一個(gè)根，
∴方程x²+4x-（3+b）=0有兩個(gè)非零不等實(shí)根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=16+4（3+b）＞0}\\{-（3+b）≠0}\end{array}\right.$，
∴b＞-7且b≠-3．
∴滿足條件的b存在，其取值范圍是（-7，-3）∪（-3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值以及根的分布的應(yīng)用，考查計(jì)算能力轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．