Question

19．已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F，線段PQ為拋物線C的一條弦．
（1）若弦PQ過(guò)焦點(diǎn)F，求證：$\frac{1}{FP}+\frac{1}{FQ}$為定值；
（2）求證：x軸的正半軸上存在定點(diǎn)M，對(duì)過(guò)點(diǎn)M的任意弦PQ，都有$\frac{1}{{M{P^2}}}+\frac{1}{{M{Q^2}}}$為定值；
（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)M及弦PQ，設(shè)$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{MQ}$，點(diǎn)N在x軸的負(fù)半軸上，且滿足$\overrightarrow{NM}⊥（{\overrightarrow{NP}-λ\overrightarrow{NQ}}）$，求N點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線PQ的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁x₂的值，由拋物線的定義分別表示出|FP|，|FQ|，代入$\frac{1}{FP}+\frac{1}{FQ}$整理得到定值，最后驗(yàn)證斜率不存在時(shí)的情況；
（2）設(shè)出直線PQ的方程，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)整理，即可求得定點(diǎn)M和定值；
（3）運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示和向量垂直的條件，化簡(jiǎn)整理即可求得定點(diǎn)N．

解答 解：（1）證明：拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），
設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-1）（k≠0），
代入拋物線方程，消去y，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁x₂=1，x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
由拋物線的定義，知|FP|=x₁+1，|FQ|=x₂+1．
$\frac{1}{FP}+\frac{1}{FQ}$=$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$
=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=$\frac{2+\frac{4}{{k}^{2}}+2}{1+2+\frac{4}{{k}^{2}}+1}$=1為定值．
當(dāng)PQ⊥x軸時(shí)，|FP|=|FQ|=2，上式仍成立；
（2）證明：設(shè)M（m，0），當(dāng)PQ⊥x軸時(shí)，令x=m，可得y²=4m，
|MP|=|MQ|=2$\sqrt{m}$，有$\frac{1}{{M{P^2}}}+\frac{1}{{M{Q^2}}}$為定值$\frac{1}{2m}$．
當(dāng)PQ斜率存在時(shí)，設(shè)PQ：x=ty+m，代入拋物線方程可得，
y²-4ty-4m=0，設(shè)P（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），Q（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m．
即有|MP|²=（m-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$）²+y₁²=$\frac{（-{y}_{1}{y}_{2}-{{y}_{1}}^{2}）^{2}}{16}$+y₁²=（1+t²）y₁²，
同理|MQ|²=（m-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$）²+y₂²=（1+t²）y₂²．
即有$\frac{1}{{M{P^2}}}+\frac{1}{{M{Q^2}}}$=$\frac{1}{1+{t}^{2}}$•$\frac{16{t}^{2}+8m}{16{m}^{2}}$，
存在m=2即有定點(diǎn)M（2，0）時(shí)，上式為$\frac{1}{1+{t}^{2}}$•$\frac{16（1+{t}^{2}）}{64}$=$\frac{1}{4}$為定值；
（3）$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{MQ}$，可得$\overrightarrow{NM}$=$\frac{\overrightarrow{NP}+λ\overrightarrow{NQ}}{1+λ}$，
$\overrightarrow{NM}⊥（{\overrightarrow{NP}-λ\overrightarrow{NQ}}）$，可得（$\overrightarrow{NP}$+λ$\overrightarrow{NQ}$）•（$\overrightarrow{NP}$-λ$\overrightarrow{NQ}$）=0，
即為NP²=λ²NQ²，
由P（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），Q（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），M（2，0），
設(shè)$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，
則y₁=-λy₂，①2-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$=λ（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$-2），②
又設(shè)N（n，0）（n＜0），則（n-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$）²+y₁²=λ²[（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$-n）²+y₂²]，
即為$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$-n=λ（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$-n），③
將①平方可得，y₁²=λ²y₂²，④，
將④代入②③，化簡(jiǎn)可得n=-2．
則N（-2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系．同時(shí)考查向量垂直的條件和向量共線的坐標(biāo)表示，注意運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的定義是解題的關(guān)鍵，具有一定的運(yùn)算量，屬于中檔題．