分析 (1)設(shè)出直線PQ的方程,與拋物線方程聯(lián)立消去y,根據(jù)韋達(dá)定理求得x1x2的值,由拋物線的定義分別表示出|FP|,|FQ|,代入1FP+1FQ整理得到定值,最后驗證斜率不存在時的情況;
(2)設(shè)出直線PQ的方程,聯(lián)立拋物線方程,運用韋達(dá)定理和兩點的距離公式,化簡整理,即可求得定點M和定值;
(3)運用向量共線的坐標(biāo)表示和向量垂直的條件,化簡整理即可求得定點N.
解答 解:(1)證明:拋物線的焦點為F(1,0),
設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-1)(k≠0),
代入拋物線方程,消去y,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,
由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1x2=1,x1+x2=2+4k2,
由拋物線的定義,知|FP|=x1+1,|FQ|=x2+1.
1FP+1FQ=1x1+1+1x2+1
=x1+x2+2x1x2+(x1+x2)+1=2+4k2+21+2+4k2+1=1為定值.
當(dāng)PQ⊥x軸時,|FP|=|FQ|=2,上式仍成立;
(2)證明:設(shè)M(m,0),當(dāng)PQ⊥x軸時,令x=m,可得y2=4m,
|MP|=|MQ|=2√m,有1MP2+1MQ2為定值12m.
當(dāng)PQ斜率存在時,設(shè)PQ:x=ty+m,代入拋物線方程可得,
y2-4ty-4m=0,設(shè)P(y124,y1),Q(y224,y2),
則y1+y2=4t,y1y2=-4m.
即有|MP|2=(m-y124)2+y12=(−y1y2−y12)216+y12=(1+t2)y12,
同理|MQ|2=(m-y224)2+y22=(1+t2)y22.
即有1MP2+1MQ2=11+t2•16t2+8m16m2,
存在m=2即有定點M(2,0)時,上式為11+t2•16(1+t2)64=14為定值;
(3)→PM=λ→MQ,可得→NM=→NP+λ→NQ1+λ,
→NM⊥(→NP−λ→NQ),可得(→NP+λ→NQ)•(→NP-λ→NQ)=0,
即為NP2=λ2NQ2,
由P(y124,y1),Q(y224,y2),M(2,0),
設(shè)→PM=λ→MQ,
則y1=-λy2,①2-y124=λ(y224-2),②
又設(shè)N(n,0)(n<0),則(n-y124)2+y12=λ2[(y224-n)2+y22],
即為y124-n=λ(y224-n),③
將①平方可得,y12=λ2y22,④,
將④代入②③,化簡可得n=-2.
則N(-2,0).
點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì),直線與拋物線的關(guān)系.同時考查向量垂直的條件和向量共線的坐標(biāo)表示,注意運用韋達(dá)定理和拋物線的定義是解題的關(guān)鍵,具有一定的運算量,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | x2=py(x≠0) | B. | y2=px(y≠0) | C. | x2=4py(x≠0) | D. | y2=4px(y≠0) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 4 | B. | 4√6 | C. | 8 | D. | 8√2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 6π | B. | 7π | C. | 12π | D. | 14π |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 向左平移π4 | B. | 向右平移π4 | C. | 向右平移π8 | D. | 向左平移π8 |
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