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19.已知拋物線C:y2=4x的焦點F,線段PQ為拋物線C的一條弦.
(1)若弦PQ過焦點F,求證:1FP+1FQ為定值;
(2)求證:x軸的正半軸上存在定點M,對過點M的任意弦PQ,都有1MP2+1MQ2為定值;
(3)對于(2)中的點M及弦PQ,設(shè)PM=λMQ,點N在x軸的負(fù)半軸上,且滿足NMNPλNQ,求N點坐標(biāo).

分析 (1)設(shè)出直線PQ的方程,與拋物線方程聯(lián)立消去y,根據(jù)韋達(dá)定理求得x1x2的值,由拋物線的定義分別表示出|FP|,|FQ|,代入1FP+1FQ整理得到定值,最后驗證斜率不存在時的情況;
(2)設(shè)出直線PQ的方程,聯(lián)立拋物線方程,運用韋達(dá)定理和兩點的距離公式,化簡整理,即可求得定點M和定值;
(3)運用向量共線的坐標(biāo)表示和向量垂直的條件,化簡整理即可求得定點N.

解答 解:(1)證明:拋物線的焦點為F(1,0),
設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-1)(k≠0),
代入拋物線方程,消去y,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,
由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1x2=1,x1+x2=2+4k2,
由拋物線的定義,知|FP|=x1+1,|FQ|=x2+1.
1FP+1FQ=1x1+1+1x2+1
=x1+x2+2x1x2+x1+x2+1=2+4k2+21+2+4k2+1=1為定值.
當(dāng)PQ⊥x軸時,|FP|=|FQ|=2,上式仍成立;
(2)證明:設(shè)M(m,0),當(dāng)PQ⊥x軸時,令x=m,可得y2=4m,
|MP|=|MQ|=2m,有1MP2+1MQ2為定值12m
當(dāng)PQ斜率存在時,設(shè)PQ:x=ty+m,代入拋物線方程可得,
y2-4ty-4m=0,設(shè)P(y124,y1),Q(y224,y2),
則y1+y2=4t,y1y2=-4m.
即有|MP|2=(m-y1242+y12=y1y2y12216+y12=(1+t2)y12,
同理|MQ|2=(m-y2242+y22=(1+t2)y22
即有1MP2+1MQ2=11+t216t2+8m16m2,
存在m=2即有定點M(2,0)時,上式為11+t2161+t264=14為定值;
(3)PM=λMQ,可得NM=NP+λNQ1+λ
NMNPλNQ,可得(NPNQ)•(NPNQ)=0,
即為NP22NQ2,
由P(y124,y1),Q(y224,y2),M(2,0),
設(shè)PMMQ,
則y1=-λy2,①2-y124=λ(y224-2),②
又設(shè)N(n,0)(n<0),則(n-y1242+y122[(y224-n)2+y22],
即為y124-n=λ(y224-n),③
將①平方可得,y122y22,④,
將④代入②③,化簡可得n=-2.
則N(-2,0).

點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì),直線與拋物線的關(guān)系.同時考查向量垂直的條件和向量共線的坐標(biāo)表示,注意運用韋達(dá)定理和拋物線的定義是解題的關(guān)鍵,具有一定的運算量,屬于中檔題.

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