Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-a_n=2a_na_n+1（n≥2且n∈N）．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•a_n+1，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：$\frac{1}{3}≤{T}_{n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用遞推關(guān)系式，整理出$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=-2$，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）利用（1）的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和．
（3）利用（1）的結(jié)論，直接對數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行恒等變換，再利用裂項(xiàng)相消法和放縮法求出結(jié)果．

解答 證明：（1）數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-a_n=2a_na_n+1（n≥2且n∈N）．
則：$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}=2$，
所以：$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=-2$，
則：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}}$=1為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列．
所以：$\frac{1}{{a}_{n}}=1-2（n-1）$=3-2n，
解得：${a}_{n}=\frac{1}{3-2n}$．
解：（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$，
則：$_{n}=（3-2n）•{2}^{n}$
所以：S_n=b₁+b₂+…+b_n
S_n=1•2¹+（-1）•2²+（-3）•2³+…+（5-2n）•2^n-1+（3-2n）•2ⁿ①
所以：2S_n=1•2²+（-1）•2³+…+（5-2n）•2ⁿ+（3-2n）•2ⁿ⁺¹②
則：①-②得：
-S_n=（-2）（2¹+2²+…+2ⁿ）+6-（3-2n）•2ⁿ⁺¹
整理得：${S}_{n}=4•（{2}^{n}-1）-6+（3-2n）•{2}^{n+1}$
=（10-4n）•2ⁿ-10
證明：（3）由于：${a}_{n}=\frac{1}{3-2n}$，
則：${a}_{n+1}=\frac{1}{1-2n}$，
數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•a_n+1，
${c}_{n}=\frac{1}{（2n-1）（2n-3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}$）
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
T_n=$\frac{1}{2}$（-1-1+1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}$）
=$\frac{1}{2}（-1-\frac{1}{2n-1}）$$＜-\frac{1}{2}$
所以：${T}_{n}＜-\frac{1}{2}$

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，乘公比錯位相減法的應(yīng)用，裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用，放縮法的應(yīng)用．主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．