Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$．設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是橢圓上不同兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線斜率之積-$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：x₁²+x₂²為定值，并求該定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，可得c=$\sqrt{3}$，由離心率可得a的值，由橢圓的性質(zhì)可得b的值，帶入數(shù)據(jù)可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$×$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，進(jìn)而變形可得（x₁x₂）²=16（y₁y₂）²，又由題意可得$\frac{{x}_{{1}^{2}}}{4}$+y₁²=1，$\frac{{x}_{{2}^{2}}}{4}$+y₂²=1，變形可得（1-$\frac{{x}_{{1}^{2}}}{4}$）（1-$\frac{{x}_{{2}^{2}}}{4}$）=（y₁y₂）²，
聯(lián)合兩個(gè)式子可得（4-x₁²）（4-x₂²）=（x₁x₂）²，展開(kāi)可得x₁²+x₂²=4，即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{3}$，則c=$\sqrt{3}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a=2，b²=a²-c²=1，
故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）根據(jù)題意，點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線斜率之積-$\frac{1}{4}$，
即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$×$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，-4y₁y₂=x₁x₂，即（x₁x₂）²=16（y₁y₂）²，
又由$\frac{{x}_{{1}^{2}}}{4}$+y₁²=1，$\frac{{x}_{{2}^{2}}}{4}$+y₂²=1，
則1-$\frac{{x}_{{1}^{2}}}{4}$=y₁²，1-$\frac{{x}_{{2}^{2}}}{4}$=y₂²，
即可得（1-$\frac{{x}_{{1}^{2}}}{4}$）（1-$\frac{{x}_{{2}^{2}}}{4}$）=（y₁y₂）²，
變形可得（4-x₁²）（4-x₂²）=（x₁x₂）²，
展開(kāi)可得x₁²+x₂²=4，
即x₁²+x₂²為定值4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，解（2）時(shí)注意運(yùn)用構(gòu)造法，變形得到x₁²+x₂²的形式．