Question

3．用84個(gè)半徑為1的球剛好填滿一個(gè)正四面體容器，則該正四面體的棱長(zhǎng)為8$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由球與正四面體相切可得，第1層有1個(gè)球，第2層有3個(gè)球，第3層有6個(gè)球，第4層有10個(gè)球，第5層有15個(gè)球，第6層有21個(gè)球，第7層有28個(gè)球，可以計(jì)算得到S₇=1+3+6+10+15+21=84，設(shè)正四面體的頂點(diǎn)到第一層球的球心距離為d，運(yùn)用等積法，將小正四面體分成4個(gè)小三棱錐，通過(guò)體積計(jì)算可得棱長(zhǎng)，再求大正四面體的高，進(jìn)而得到所求棱長(zhǎng)．

解答 解：由球與正四面體相切可得，第1層有1個(gè)球，第2層有3個(gè)球，
第3層有6個(gè)球，第4層有10個(gè)球，第5層有15個(gè)球，第6層有21個(gè)球，
第7層有28個(gè)球，
可以計(jì)算得到S₇=1+3+6+10+15+21=84，
設(shè)正四面體的頂點(diǎn)到第一層球的球心距離為d，
由等積法可得第一層用平行于底面的平面來(lái)切，可得小的正四面體，
設(shè)邊長(zhǎng)為a，則由等積法可得$\frac{1}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²•$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{1}{3}$•1•$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
解得a=2$\sqrt{6}$，
則所求正四面體的高為d+1+2×6=$\frac{\sqrt{6}}{3}$×2$\sqrt{6}$-1+13=16，
即有所求正四面體的邊長(zhǎng)為$\frac{16}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=8$\sqrt{6}$．
故答案為：8$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正四面體與球的位置關(guān)系：相切，同時(shí)考查棱錐的體積的計(jì)算和等積法的運(yùn)用，屬于中檔題和易錯(cuò)題．