Question

13．已知橢圓W：$\frac{{x}^{2}}{2m+10}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-2}$=1的左焦點為F（m，0），過點M（-3，0）作一條斜率大于0的直線l與W交于不同的兩點A、B，延長BF交W于點C．
（1）求橢圓W的離心率；
（2）若△AMF與△CMF的面積分別為S₁和S₂，且S₁=λS₂，求λ的取值集合．

Answer 1

分析 （1）由橢圓W：$\frac{{x}^{2}}{2m+10}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-2}$=1的左焦點為F（m，0），可得2m+10-（m²-2）=m²，m＜0，解得m．即可得出離心率．
（2）由（1）可得：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設(shè)直線l的方程為：ty=x+3．與橢圓的方程聯(lián)立化為（t²+3）y²-6ty+3=0，設(shè)A關(guān)于x軸的對稱點A′（x₁，-y₁），利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式可證明：A′，F(xiàn)，B三點共線，可得A′與點C重合．即可得出．

解答 解：（1）∵橢圓W：$\frac{{x}^{2}}{2m+10}$+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}-2}$=1的左焦點為F（m，0），
∴2m+10-（m²-2）=m²，m＜0，解得m=-2．
∴a²=2m+10=6，c=2．
∴$e=\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{4}{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）由（1）可得：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直線l的方程為：ty=x+3．
聯(lián)立（2）$\left\{\begin{array}{l}{ty=x+3}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，化為（t²+3）y²-6ty+3=0，
∴y₁+y₂=$\frac{6t}{{t}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{3}{{t}^{2}+3}$．
設(shè)A關(guān)于x軸的對稱點A′（x₁，-y₁），
下面證明：A′，F(xiàn)，B三點共線，
∵k_BF=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$，${k}_{F{A}^{′}}$=$\frac{-{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，
∴k_BF-${k}_{F{A}^{′}}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$-$\frac{-{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=$\frac{{y}_{2}（{x}_{1}+2）+{y}_{1}（{x}_{2}+2）}{（{x}_{2}+2）（{x}_{1}+2）}$，
∴分子=y₂（ty₁-3+2）+y₁（ty₂-3+2）
=2ty₁y₂-（y₁+y₂）
=$\frac{2t×3}{{t}^{2}+3}$$-\frac{6t}{{t}^{2}+3}$=0，
∴k_BF=${k}_{F{A}^{′}}$，
∴A′，F(xiàn)，B三點共線，
∴A′與點C重合．
∴S₁=S₂，∴λ=1．
∴λ的取值集合為{1}．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．