Question

18．“坐標(biāo)法”是以坐標(biāo)系為橋梁，把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過代數(shù)運(yùn)算研究圖形的幾何性質(zhì)的方法，它是解析幾何中是基本的研究方法．請(qǐng)用坐標(biāo)法證明下面問題：
已知圓O的方程是x²+y²=1，點(diǎn)A（1，0），P、Q是圓O上異于A的兩點(diǎn)．證明：弦PQ是圓O直徑的充分必要條件是$\overrightarrow{AP}?\overrightarrow{AQ}=0$．

Answer 1

分析 ①充分性：由$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0，得出∠PAQ=90°，設(shè)出直線AP、AQ的方程，與圓O的方程聯(lián)立，
求出$\overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{OQ}$的坐標(biāo)表示，得出P、Q的關(guān)系，即正PQ是圓的直徑；
②必要性：由弦PQ是圓的直徑，設(shè)出P、Q的坐標(biāo)，計(jì)算$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$的值即可．

解答 證明：①充分性：若$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0，即∠PAQ=90°，
設(shè)直線AP的方程是x=my+1，代入x²+y²=1得
（m²+1）y²+2my=0；------（2分）
因?yàn)閥≠0，所以y=-$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，從而得
$\overrightarrow{OP}$=（$\frac{1{-m}^{2}}{{m}^{2}+1}$，-$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$）；------（4分）
因?yàn)椤螾AQ=90°，所以直線AQ的方程為x=-$\frac{1}{m}$y+1；
以-$\frac{1}{m}$代換點(diǎn)Q坐標(biāo)中的m，得
$\overrightarrow{OQ}$=（$\frac{{m}^{2}-1}{{m}^{2}+1}$，$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$）；-----（5分）
顯然$\overrightarrow{OP}$=-$\overrightarrow{OQ}$，即弦PQ是圓的直徑；------（6分）
②必要性：若弦PQ是圓的直徑，可設(shè)P（x₁，y₁），Q（-x₁，-y₁），
$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=（x₁-1，y₁）•（-x₁-1，-y₁）=1-${{x}_{1}}^{2}$-${{y}_{1}}^{2}$；-----（10分）
因?yàn)?{{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=1，所以$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0．-----（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的應(yīng)用問題，也考查了平面向量的應(yīng)用問題，考查了證明與推理能力，是綜合性問題．