Question

2．已知O為銳角三角形ABC的外心，∠B=30°，$\frac{cosA}{sinC}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{cosC}{sinA}$$\overrightarrow{BC}$=2m$\overrightarrow{OB}$，則實數(shù)m的值為$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 在等式$\frac{cosA}{sinC}\overrightarrow{BA}+\frac{cosC}{sinA}\overrightarrow{BC}=2m\overrightarrow{OB}$兩邊同時乘以向量$\overrightarrow{OB}$便可得到，$-\frac{cosA}{sinC}|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{OB}|cos∠ABO$$-\frac{cosC}{sinA}|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{OB}|cos∠CBO=2m{\overrightarrow{OB}}^{2}$．根據(jù)直角三角形邊角關系有$\left|\overrightarrow{OB}\right|=\frac{\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{BA}\right|}{cos∠ABO}=\frac{\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{BC}\right|}{cos∠CBO}$，帶入上式便得到$\frac{1}{2}•\frac{cosA}{sinC}•|\overrightarrow{BA}{|}^{2}+\frac{1}{2}•\frac{cosC}{sinA}•|\overrightarrow{BC}{|}^{2}=-2m|\overrightarrow{OB}{|}^{2}$，這樣根據(jù)正弦定理便可得出cosAsinC+cosCsinA=-m，從而得到m=-sinB=$-\frac{1}{2}$．

解答 解：如圖，

由$\frac{cosA}{sinC}\overrightarrow{BA}+\frac{cosC}{sinA}\overrightarrow{BC}=2m\overrightarrow{OB}$得$\frac{cosA}{sinC}\overrightarrow{BA}?\overrightarrow{OB}+\frac{cosC}{sinA}\overrightarrow{BC}?\overrightarrow{OB}=2m{\overrightarrow{OB}}^{2}$；
∴$\frac{cosA}{sinC}\left|\overrightarrow{BA}\right|?\left|\overrightarrow{OB}\right|cos（π-∠ABO）+\frac{cosC}{sinA}\left|\overrightarrow{BC}\right|?\left|\overrightarrow{OB}\right|cos（π-∠CBO）=2m{\overrightarrow{OB}}^{2}$；
而$\left|\overrightarrow{OB}\right|=\frac{\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{BA}\right|}{cos∠ABO}=\frac{\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{BC}\right|}{cos∠CBO}$；
∴$\frac{cosA}{sinC}?\frac{1}{2}{\left|\overrightarrow{BA}\right|}^{2}+\frac{cosC}{sinA}?\frac{1}{2}{\left|\overrightarrow{BC}\right|}^{2}=-2m{\left|\overrightarrow{OB}\right|}^{2}$；
∴$\frac{cosA}{sinC}?{c}^{2}+\frac{cosC}{sinA}?{a}^{2}=-m{（2R）}^{2}$（其中R為三角形ABC外接圓的半徑）；
∴$\frac{cosA}{sinC}?{（sinC）}^{2}+\frac{cosC}{sinA}?{（sinA）}^{2}=-m$；
∴$cosAsinC+cosCsinA=-m，-m=sin（A+C）=sinB=\frac{1}{2}，m=-\frac{1}{2}$．
故答案為：$-\frac{1}{2}$．

點評 考查三角形外心的概念，向量數(shù)量積的計算公式，直角三角形邊角的關系，以及正弦定理，兩角和的正弦公式，三角函數(shù)的誘導公式．