Question

2．以下四個命題：
①?x₀∈R，使$ln（{x_0^2+1}）＜0$；
②若x≠kπ（k∈Z），則$sinx+\frac{1}{sinx}≥2$；
③若命題“￢p”與“p或q”都是真命題，則命題q一定是真命題；
④函數(shù)y=x³+2e^x在x=1處的切線過（0，-2）點(diǎn)．
其中真命題的序號是③④（把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上）．

Answer 1

分析 ①根據(jù)特稱命題結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
②根據(jù)基本不等式的性質(zhì)和條件進(jìn)行判斷．
③根據(jù)復(fù)合命題真假關(guān)系進(jìn)行判斷．
④根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行判斷．

解答 解：①∵x²+1≥1，∴l(xiāng)n（x²+1）≥ln1=0，
則?x₀∈R，使$ln（{x_0^2+1}）＜0$錯誤，故①錯誤；
②當(dāng)x=-$\frac{π}{6}$，滿足x≠kπ（k∈Z），但sinx+$\frac{1}{sinx}$=-$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{-\frac{1}{2}}$=-$\frac{1}{2}-2$=-$\frac{5}{2}$，則$sinx+\frac{1}{sinx}≥2$錯誤，故②錯誤；
③若命題“￢p”與“p或q”都是真命題，則p是假命題，則命題q一定是真命題，成立，故③正確；
④當(dāng)x=1時，y=1+2e，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1+2e），
函數(shù)y=x³+2e^x在x=1處的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²+2e^x，則f′（1）=3+2e，
則切線方程為y-（1+2e）=（3+2e）（x-1），
即y=（3+2e）x-3-2e+1+2e=（3+2e）x-2，
則當(dāng)x=0時，y=-2，即此時切線過（0，-2）點(diǎn)．故④正確，
故答案為：③④

點(diǎn)評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)，不等式以及導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，綜合性較強(qiáng)，難度中等．