Question

14．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，已知點(diǎn)N（2，m）為拋物線C上一點(diǎn)，且|NF|=4．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線l過點(diǎn)F交拋物線于不同的兩點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)M，且$\overrightarrow{MA}$=a$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=b$\overrightarrow{BF}$，（a，b∈R）對(duì)任意的直線l，a+b是否為定值？若是，求出a+b的值，否則，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義可得2+$\frac{p}{2}$=4，解方程可得拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=k（x-2），l與y軸交于M（0，-2k），設(shè)直線l交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與拋物線聯(lián)立，消元利用韋達(dá)定理，結(jié)合$\overrightarrow{MA}$=a$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{MB}$=b$\overrightarrow{BF}$，運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，可得a，b，由此可得結(jié)論．

解答 解：（1）拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線為x=-$\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義可得|NF|=2+$\frac{p}{2}$=4，
解得p=4，則拋物線的方程為y²=8x；
（2）由已知得直線l的斜率一定存在，
由y²=8x的焦點(diǎn)F為（2，0），
所以設(shè)l：y=k（x-2），l與y軸交于M（0，-2k），
設(shè)直線l交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線l代入拋物線方程，可得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
∴x₁+x₂=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4，
∵$\overrightarrow{MA}$=a$\overrightarrow{AF}$，∴（x₁，y₁+2k）=a（2-x₁，-y₁），
∴a=$\frac{{x}_{1}}{2-{x}_{1}}$，
同理b=$\frac{{x}_{2}}{2-{x}_{2}}$，
∴a+b=$\frac{{x}_{1}}{2-{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}}{2-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{2-{x}_{1}}$+$\frac{2{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}-2{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-2}{2-{x}_{1}}$=-1，
∴對(duì)任意的直線l，a+b為定值-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．