19.如圖,AB=AD,∠BAD=90°,M,N,G分別是BD,BC,AB的中點(diǎn),將等邊△BCD沿BD折疊到△BC′D的位置,使得AD⊥C′B.
(Ⅰ)求證:平面GNM∥平面ADC′;
(Ⅱ)求證:C′A⊥平面ABD.

分析 (Ⅰ)利用線面平行的判定定理,證明MN∥平面ADC′,NG∥平面ADC,再利用面面平行的判定定理證明平面GNM∥平面ADC′;
(Ⅱ)利用AD⊥平面C′AB,證明AD⊥C′A,利用勾股定理的逆定理,證明AB⊥C′A,再利用線面垂直的判定定理證明C′A⊥平面ABD.

解答 (本題滿分為10分)
解:(Ⅰ)因?yàn)镸,N分別是BD,BC′的中點(diǎn),
所以MN∥DC′.
因?yàn)镸N?平面ADC′,
DC′?平面ADC′,所以MN∥平面ADC′.
同理NG∥平面ADC′.
又因?yàn)镸N∩NG=N,
所以平面GNM∥平面ADC′…(5分)
(Ⅱ)因?yàn)椤螧AD=90°,所以AD⊥AB.
又因?yàn)锳D⊥C′B,且AB∩C′B=B,所以AD⊥平面C′AB.
因?yàn)镃′A?平面C′AB,所以AD⊥C′A.
因?yàn)椤鰾CD是等邊三角形,AB=AD,
不妨設(shè)AB=1,則BC=CD=BD=$\sqrt{2}$,可得C′A=1.
由勾股定理的逆定理,可得AB⊥C′A.
因?yàn)锳B∩AD=A,
所以C′A⊥平面ABD…(10分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了面面平行,線面垂直的判定,考查了學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力、空間想象能力和推理論證能力,正確運(yùn)用面面平行、線面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

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