Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{m}$+$\frac{m}{{e}^{x}}$（其中m＞0，e為自然對數(shù)的底數(shù)）是定義在R上的偶函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）為R上的偶函數(shù)，從而有f（-1）=f（1），這樣即可得出$m-\frac{1}{m}=0$，由m＞0從而得出m=1；
（2）寫出$f（x）={e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}$，根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，提取公因式，從而得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）（1-\frac{1}{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$，根據(jù)x₁＞x₂＞0及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便可判斷f（x₁），f（x₂）的關(guān)系，從而得出f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

解答 解：（1）f（x）為R上的偶函數(shù)；
∴f（-1）=f（1）；
即$\frac{1}{me}+me=\frac{e}{m}+\frac{m}{e}$；
∴$（m-\frac{1}{m}）（e-\frac{1}{e}）=0$；
∴$m-\frac{1}{m}=0$；
∵m＞0，∴解得m=1；
（2）$f（x）={e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}$，設(shè)x₁＞x₂＞0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={e}^{{x}_{1}}+\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}}-{e}^{{x}_{2}}-\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$=$（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）（1-\frac{1}{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴${e}^{{x}_{1}}＞{e}^{{x}_{2}}$，x₁+x₂＞0，${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}＞1$；
∴${e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}＞0，1-\frac{1}{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點評 考查偶函數(shù)的定義，函數(shù)單調(diào)性的定義，根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．