Question

9．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{c}$的最大值是$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 |$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π）），代入化簡利用三角函數(shù)的單調(diào)性最值即可得出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ）（θ∈[0，2π））
則（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{c}$=（1-cosθ）•cosθ+（1-sinθ）•sinθ=sinθ+cosθ-1=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$-1$≤\sqrt{2}$-1，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{c}$的最大值是$\sqrt{2}$-1．
故答案為：$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性最值、向量的坐標(biāo)運(yùn)算數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．