Question

2．已知函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（　�。�

• A． 若f（x）＞f′（x）對(duì)x∈R恒成立，則 ef（1）＜f（2）
• B． 若f（x）＜f′（x）對(duì)x∈R恒成立，則e²f（-1）＞f（1）
• C． 若f（x）+f′（x）＞0對(duì)x∈R恒成立，則ef（2）＜f（1）
• D． 若f（x）+f′（x）＜0對(duì)x∈R恒成立，則f（-1）＞e²f（1）

Answer 1

分析 對(duì)于A，B構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系加以判斷，
對(duì)于A，B構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^xf（x），利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系加以判斷．

解答 解：對(duì)于A，對(duì)于A，f（x）＞f′（x）對(duì)x∈R恒成立，設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0恒成立，
故g（x）在R上單調(diào)遞減，
∴$\frac{f（1）}{e}$＞$\frac{f（2）}{{e}^{2}}$，即ef（1）＞f（2），故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，f（x）＞f′（x）對(duì)x∈R恒成立，設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0恒成立，
故g（x）在R上單調(diào)遞增，
∴$\frac{f（-1）}{{e}^{-1}}$＜$\frac{f（1）}{e}$，即e²f（-1）＜f（1），故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，若f（x）+f′（x）＞0對(duì)x∈R恒成立，設(shè)g（x）=e^xf（x），
則g′（x）=e^x（f（x）+f′（x））＞0恒成立，
故g（x）在R上單調(diào)遞增，∴e²f（2）＞ef（1），即ef（2）＞f（1），故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，若f（x）+f′（x）＜0對(duì)x∈R恒成立，設(shè)g（x）=e^xf（x），
則g′（x）=e^x（f（x）+f′（x））＜0恒成立，
故g（x）在R上單調(diào)遞減，
∴e^-1f（-1）＞ef（1），即f（-1）＞e²f（1），故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．