Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角a、β的終邊分別與單位圓交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）如果sinα=$\frac{3}{5}$，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為$\frac{5}{13}$，求cos（α+β）的值；
（Ⅱ）已知點(diǎn)C（2$\sqrt{3}$，-2），函數(shù)f（α）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$，若f（α）=2$\sqrt{2}$，求α．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用同角的平方關(guān)系和任意角的三角函數(shù)的定義，結(jié)合兩角和的余弦公式，計(jì)算即可得到所求；
（Ⅱ）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合兩角和的余弦公式，由特殊角的三角函數(shù)值，即可得到．

解答 解：（Ⅰ）sinα=$\frac{3}{5}$，α為銳角，則cosα=$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=$\frac{4}{5}$，
點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為$\frac{5}{13}$，即有cosβ=$\frac{5}{13}$，sinβ=$\frac{12}{13}$，
則cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=$\frac{4}{5}$×$\frac{5}{13}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{12}{13}$=-$\frac{16}{65}$；
（Ⅱ） 由題意可知，$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{OC}$=（2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$），
則f（α）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=2$\sqrt{3}$cosα-2sinα=4cos（α+$\frac{π}{6}$）=2$\sqrt{2}$，
即cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0＜α＜$\frac{π}{2}$，可得$\frac{π}{6}$＜α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
則α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{4}$，
即有α=$\frac{π}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的求值，注意運(yùn)用三角函數(shù)的定義和兩角和的余弦公式，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．