Question

2．若等差數(shù)列的前6項(xiàng)和為36，前9項(xiàng)和為81，
（1）求a_n；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列方程組解出a₁和公差d，再代入通項(xiàng)公式即可；
（2）使用裂項(xiàng)法求和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則$\left\{\begin{array}{l}{6{a}_{1}+15d=36}\\{9{a}_{1}+36d=81}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）．
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-$$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，裂項(xiàng)法求和，屬于中檔題．